摘要
本节主要介绍尺度不变特征以及其经典代表——SIFT，网上关于如何计算SIFT特征的博客有很多，但是大多数博客都没有解释为什么这样找到的特征就是"尺度不变"的、为什么尺度和$\sigma$相关联等问题。因此这篇博客会对这些问题进行一些个人的补充，不一定对，欢迎留言~
尺度不变特征
在这里，我想把尺度理解成某个物体的大小。那么尺度不变特征就可以解释为：那些随着物体尺度变化而不会发生改变的特征。
具体来说，可以假设两张都有一个黑色实心圆的图片，图片大小保持一致，而图中的圆半径不一致。圆的尺度不同，那么尺度不变特征就可以理解成这两张图中共有的一些特征，这些特征不会随圆的改变而变化/消失。当然这里的圆也可以是复杂的建筑，如下图所示。
之前提到的harris角点就明显不是一个尺度不变特征，当角点的大小放大到一定程度，只能检测到边，而检测不到角点，这说明角点特征不是尺度不变的。
回到刚刚圆的例子，我们希望能有一个特征，可以描述不同半径的圆。如果找到了，那么我们就可以允许识别任务中摄像头可以有一定的远近变化，这是非常有意义的，因为生活中的大部分识别任务不能100%保证摄像头与物体始终保持固定的距离。这就是尺度不变特征的意义。
拉普拉斯模板与圆形检测
之前介绍过高斯偏导模板，高斯一阶导模板可以检测边缘(边缘点的响应结果为极值)，二阶导同样可以做到(边缘点的响应是0)，我们称高斯二阶导模板为拉普拉斯模板。
拉普拉斯模板有个特点：对于特定宽度的信号，存在某个$\sigma$的拉普拉斯模板，两者卷积结果响应具有最大值，如下图所示。换句话说，对于某个宽度的信号，都可以找到一个$\sigma_0$对应的拉普拉斯模板，使两者在信号中间那个点的响应$f_0$最大，并且其他$\sigma$的拉普拉斯响应都小于$f_0$。
那么这个响应什么时候最大呢？可以证明：当信号宽度和拉普拉斯模板的0平面宽度一致时，响应可以取到最大值。带入拉普拉斯模板零平面方程可以得到$\sigma=r/\sqrt2$。
至此，我们发现拉普拉斯模板可以检测圆形物体，具体方法是：对于同一张图像，我们使用不同的拉普拉斯模板去卷积($\sigma不断增大$),得到一系列卷积响应图。对于每个像素点，我们取出这些相应图中对应位置的响应，组成一个响应值序列。如果该序列存在极值，即满足响应从小到大再到小的趋势。那么我们可以认为在这个像素点可能是一个圆的圆心，圆的半径就是响应极值对应的拉普拉斯模板的$\sigma$乘以$\sqrt2$。
尺度与sigma
以上说明还没有涉及尺度不变的问题，现在我们回到最开始提到的两张图像，两张图象都有一个圆，圆的半径不同。对于其中一张图像，我们通过上述方法可以检测出圆形的位置和大小。对于另外一张呢？同样可以！两者的区别只在于，我们通过一系列拉普拉斯模板去寻找响应值极值时，两张图片极值出现的像素点可能不同(圆心不同)以及极值对应的拉普拉斯模板$\sigma$不同(半径不同)。
但是这背后蕴藏了一个信息：对于圆这个物体，我们通过拉普拉斯响应可以在不同图像中都识别到它。并且这个圆大小并不影响我们的检测，无非是寻找到的$\sigma$不同而已。
那么这种拉普拉斯极值响应，是不是就是一种尺度不变的特征呢？答案我认为是对的，事实上这就是SIFT特征的理论基础。
还有一个小问题：我们刚刚发现拉普拉斯响应极值对应的$\sigma$和最终检测出来的圆形半径有关，圆形半径越大，$\sigma$越大，对应的拉普拉斯响应图越模糊。所以我们可以将圆形大小、$\sigma$、卷积结果的模糊程度联系起来。并且也多少能够解释网上的这种说法：不同$\sigma$的高斯模板卷积出来的图片对应不同的尺度空间，尺度原本应该描述大小上的关系(至少我的第一反应是)，实际上却和图片的模糊程度相关。
SIFT特征
关于SIFT特征的求法，网上的资料已经非常丰富了。这里大概提一下重要的几个点。
改进一
第一个改进是使用DOG近似LOG，这是利用高斯模板之间的差分来近似拉普拉斯模板。可以证明的是
$$
normed \space LOG = \sigma \frac{ \partial G }{ \partial \sigma }
$$
$$
G(x,y,k\sigma) - G(x,y,\sigma) \approx (k-1)\sigma^2 \nabla ^2G
$$
那么我们就可以通过DOG(Difference of Gaussians)去近似LOG，可以节约计算量~
改进二
其次是不同$\sigma$的高斯响应，我们使用不同$\sigma$的高斯模板对于原图进行多次卷积操作。事实上，随着sigma不断增大，卷积核也越来越大，计算效率会不断降低。所以为了节约效率，SIFT有了第二个改进，通过上一次卷积的结果计算下一次卷积，这里用到了卷积的可加性，如下所示。
$$
\sigma_{op} = \sqrt{\sigma_{next}^2-\sigma_{curr}^2}
$$
我们要得到一个$\sigma_{next}$的结果，只需要在$\sigma_{curr}$的基础上做一次$\sigma_{op}$的卷积就可以了。
改进三
第三个改进是使用多尺度的响应图，不同octave之间的图像大小相差一倍(使用上一个octave的倒数第三张图片缩放一倍后作为本octave的第一张图片，并且第一张图片不再做高斯模糊处理，为什么是倒数第三章可以参考其他博客，大概就是这种$\sigma$分布可以保证倒数第三张的$\sigma$刚好是$k\sigma$)。这里同样是考虑运算效率，小图上的卷积更快，并且降采样可以视为$sigma减半$，意味着不同octave之间可以使用相同的卷积模板，这也是opencv实现中的一个trick。
改进四
由于原始SIFT只能检测出圆形的特征区域，无法克服拍摄视角等问题。所以可以使用放射变换对圆进行微调。
具体用到了之前harris角点提到的M矩阵，通过改变圆某个方向的半径，使M矩阵的两个特征值尽可能保持一致。具体方法就是，首先通过R矩阵确定圆形拍扁(拉长)的方向，在特征值较小的方向，将检测出来的圆进行压缩，直到椭圆区域内的M矩阵两个特征值一致。
改进五
对于提取出来的区域，我们可能会遇到视角旋转等问题。所以这里需要对提取出来的区域做一次归一化旋转。具体来说，就是统计区域内的各个像素点的梯度方向，画出统计直方图，根据直方图的主方向进行旋转，达成归一化的效果。因为只涉及梯度，所以这种方法对于光照、环境都是鲁棒的。
SIFT描述符
SIFT描述符的生成网上有很多资料，大致就是把SIFT区域分成4x4的子区域，每个子区域统计8个方向的梯度方向直方图，通过这八个实数来描述这个子区域，因此最终一个区域可以得到大小为128维的SIFT向量。这就是SIFT描述符了~
总结
总的来说，SIFT特征理解起来还是比较抽象的，特别是尺度不变部分的描述。SIFT描述符也不止用在SIFT算法中，只要是对某个区域进行特征抽象都可以使用SIFT描述符的思想。
写的很好！硕导加油！早日评上院士